Prova Logica dell'esistenza di Dio (ATTENZIONE: spiegazione tecnica!!!)
I - Definizione di proprietà positiva P(φ)
II - Definizione di Dio G(x)
III - Definizione di relazione di essenza φ Ess.x
IV - Definizione di relazione di necessità
V - Teorema 1: Se un essere è Dio allora ha l'essenza divina
VI - Definizione di esistenza necessaria E(x)
VII - Teorema 2: Se Dio è possibile allora esiste necessariamente
VIII - Dio è possibile
IX - Dio esiste necessariamente.
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I - Definizione di proprietà positiva P(φ)
(1) P(φ) φ è positivo (o φ ∈ P)
"φ è una proprietà positiva P".
Ad esempio essere onnipotente, essere giusto, essere onnisciente, essere misericordioso.
(2) Assioma 1. P(φ) . P(ψ) ⊃ P(φ . ψ)
Nota 1. E per ogni numero di addendi.
"Se φ e ψ sono proprietà positive, allora anche la congiunzione di φ e ψ è una proprietà positiva".
Ad esempio se essere onnipotente è una proprietà positiva e essere misericordioso è una proprietà positiva, allora essere onnipotente e misericordioso è una proprietà positiva.
La congiunzione di proprietà vale per un numero qualunque di addendi. Quindi è una proprietà positiva, ad esempio, anche essere onnipotente, giusto e misericordioso.
(3) Assioma 2. P(φ) ∨ P( ∼φ)
Nota 2. Disgiunzione esclusiva.
"Non è possibile che φ e ∼φ entrambe proprietà positive o entrambe proprietà non positive".
O una proprietà è positiva o lo è il suo contrario. Se φ non è una proprietà positiva allora ∼φ è una proprietà positiva.
Se essere giusto è una proprietà positiva allora essere non giusto non può essere una proprietà positiva.
***
II - Definizione di Dio G(x)
(4) Definizione 1. G(x) ≡ (φ) [ P(φ) ⊃ φ(x) ] (Dio)
"Un essere x è di natura divina se e soltanto se possiede tutte e sole le proprietà positive φ".
Dio viene definito in base alle proprietà positive. Da Dio viene esclusa ogni negazione ed ogni privazione. Le proprietà di Dio sono solo positive. Si potrebbe definire Dio dicendo che è un essere buono, giusto, onnipotente, onnisciente, misericordioso, ecc.
***
III - Definizione di relazione di essenza φ Ess.x
(5) Definizione 2. φ Ess.x ≡ (ψ) [ ψ(x) ⊃ N(y) [ φ(y) ⊃ ψ(y) ]] (Essenza di x) Nota 3. Due qualunque essenze di x sono necessariamente equivalenti.
"φ è un’essenza di x (φ Ess.x) se e soltanto se per ogni proprietà ψ di x, esiste necessariamente un y, tale che se y ha la proprietà φ, allora ha la proprietà ψ".
***
IV - Definizione di relazione di necessità
(6) p ⊃ Nq = N(p ⊃ q) (Necessità)
"Se p implica necessariamente q allora è necessario che p implichi q".
(7) Assioma 3. P(φ) ⊃ NP(φ); ∼P(φ) ⊃ N ∼P(φ)
"Se una proprietà è positiva allora è necessariamente positiva".
"Se una proprietà non è positiva, allora è necessariamente non positiva".
***
V - Teorema 1: Se un essere è Dio allora ha l'essenza divina
(8) Teorema. G(x) ⊃ G Ess. x.
"Se un essere x è di natura divina, allora l'essenza di x è la natura divina G".
***
VI - Definizione di esistenza necessaria E(x)
(9) Definizione 3. E(x) ≡ (φ) [φ Ess. x ⊃ N (∃x) φ(x) ] (Esistenza necessaria)
"x esiste necessariamente, se e soltanto se per ogni elemento essenziale φ di x, necessariamente esiste un x che ha φ".
Ossia "x esiste necessariamente se e soltanto se la sua essenza o ogni suo elemento essenziale esiste necessariamente".
(10) Assioma 4. P(E)
"L'esistenza necessaria è una proprietà positiva".
***
VII - Teorema 2: Se Dio è possibile allora esiste necessariamente
(11) Teorema 2. G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
"Se x è Dio, allora esiste necessariamente".
Quindi
(12) (∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
"Se Dio esiste, allora esiste necessariamente".
Necessitazione di (12):
(12-a) N [(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)]
"E' necessario che se Dio esiste, allora esiste necessariamente".
Da (12-a) e da (K) si ottiene:
(13) M(∃x) G(x) ⊃ MN(∃y) G(y) (M = possibilità)
"Se è possibile che Dio esista, allora è possibile che Dio esista necessariamente".
Da (13) e da (S5) si ottiene:
(13-a) MN(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
Da (13) e (13-a) si ottiene:
(14) M(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
"Se è possibile che Dio esista, allora Dio esiste necessariamente".
***
VIII - Dio è possibile
M(∃x) G(x) significa che il sistema di tutte le proprietà positive è compatibile.
Questo è vero grazie a:
(15) Assioma 5. P(φ) . φ ⊃ Nψ : ⊃ P(ψ)
"Se una proprietà positiva φ ne implica necessariamente un’altra ψ, allora anche ψ è positiva".
che implica
(16) x = x è positivo
(17) x ≠ x è negativo.
Ma se un sistema S di proprietà positive fosse incompatibile, ciò significherebbe che la proprietà somma s (che è positiva) sarebbe x ≠ x.
Gödel usa x ≠ x per significare una proprietà negativa.
Per l'assioma 1 s è positivo e vale x = x per s. Ma s non può essere auto-contraddittorio con se stesso. Se qualcosa non è auto-contraddittorio, allora è possibile. Dunque S è possibile.
***
IX - Dio esiste necessariamente
Da (14) e da (15) per il modus ponens:
(18) N(∃y) G(y)
"Dio esiste necessariamente".
Con P(E(x)) ∈ G(x) l'esistenza necessaria di Dio è dimostrata.
II - Definizione di Dio G(x)
III - Definizione di relazione di essenza φ Ess.x
IV - Definizione di relazione di necessità
V - Teorema 1: Se un essere è Dio allora ha l'essenza divina
VI - Definizione di esistenza necessaria E(x)
VII - Teorema 2: Se Dio è possibile allora esiste necessariamente
VIII - Dio è possibile
IX - Dio esiste necessariamente.
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I - Definizione di proprietà positiva P(φ)
(1) P(φ) φ è positivo (o φ ∈ P)
"φ è una proprietà positiva P".
Ad esempio essere onnipotente, essere giusto, essere onnisciente, essere misericordioso.
(2) Assioma 1. P(φ) . P(ψ) ⊃ P(φ . ψ)
Nota 1. E per ogni numero di addendi.
"Se φ e ψ sono proprietà positive, allora anche la congiunzione di φ e ψ è una proprietà positiva".
Ad esempio se essere onnipotente è una proprietà positiva e essere misericordioso è una proprietà positiva, allora essere onnipotente e misericordioso è una proprietà positiva.
La congiunzione di proprietà vale per un numero qualunque di addendi. Quindi è una proprietà positiva, ad esempio, anche essere onnipotente, giusto e misericordioso.
(3) Assioma 2. P(φ) ∨ P( ∼φ)
Nota 2. Disgiunzione esclusiva.
"Non è possibile che φ e ∼φ entrambe proprietà positive o entrambe proprietà non positive".
O una proprietà è positiva o lo è il suo contrario. Se φ non è una proprietà positiva allora ∼φ è una proprietà positiva.
Se essere giusto è una proprietà positiva allora essere non giusto non può essere una proprietà positiva.
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II - Definizione di Dio G(x)
(4) Definizione 1. G(x) ≡ (φ) [ P(φ) ⊃ φ(x) ] (Dio)
"Un essere x è di natura divina se e soltanto se possiede tutte e sole le proprietà positive φ".
Dio viene definito in base alle proprietà positive. Da Dio viene esclusa ogni negazione ed ogni privazione. Le proprietà di Dio sono solo positive. Si potrebbe definire Dio dicendo che è un essere buono, giusto, onnipotente, onnisciente, misericordioso, ecc.
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III - Definizione di relazione di essenza φ Ess.x
(5) Definizione 2. φ Ess.x ≡ (ψ) [ ψ(x) ⊃ N(y) [ φ(y) ⊃ ψ(y) ]] (Essenza di x) Nota 3. Due qualunque essenze di x sono necessariamente equivalenti.
"φ è un’essenza di x (φ Ess.x) se e soltanto se per ogni proprietà ψ di x, esiste necessariamente un y, tale che se y ha la proprietà φ, allora ha la proprietà ψ".
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IV - Definizione di relazione di necessità
(6) p ⊃ Nq = N(p ⊃ q) (Necessità)
"Se p implica necessariamente q allora è necessario che p implichi q".
(7) Assioma 3. P(φ) ⊃ NP(φ); ∼P(φ) ⊃ N ∼P(φ)
"Se una proprietà è positiva allora è necessariamente positiva".
"Se una proprietà non è positiva, allora è necessariamente non positiva".
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V - Teorema 1: Se un essere è Dio allora ha l'essenza divina
(8) Teorema. G(x) ⊃ G Ess. x.
"Se un essere x è di natura divina, allora l'essenza di x è la natura divina G".
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VI - Definizione di esistenza necessaria E(x)
(9) Definizione 3. E(x) ≡ (φ) [φ Ess. x ⊃ N (∃x) φ(x) ] (Esistenza necessaria)
"x esiste necessariamente, se e soltanto se per ogni elemento essenziale φ di x, necessariamente esiste un x che ha φ".
Ossia "x esiste necessariamente se e soltanto se la sua essenza o ogni suo elemento essenziale esiste necessariamente".
(10) Assioma 4. P(E)
"L'esistenza necessaria è una proprietà positiva".
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VII - Teorema 2: Se Dio è possibile allora esiste necessariamente
(11) Teorema 2. G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
"Se x è Dio, allora esiste necessariamente".
Quindi
(12) (∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
"Se Dio esiste, allora esiste necessariamente".
Necessitazione di (12):
(12-a) N [(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)]
"E' necessario che se Dio esiste, allora esiste necessariamente".
Da (12-a) e da (K) si ottiene:
(13) M(∃x) G(x) ⊃ MN(∃y) G(y) (M = possibilità)
"Se è possibile che Dio esista, allora è possibile che Dio esista necessariamente".
Da (13) e da (S5) si ottiene:
(13-a) MN(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
Da (13) e (13-a) si ottiene:
(14) M(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
"Se è possibile che Dio esista, allora Dio esiste necessariamente".
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VIII - Dio è possibile
M(∃x) G(x) significa che il sistema di tutte le proprietà positive è compatibile.
Questo è vero grazie a:
(15) Assioma 5. P(φ) . φ ⊃ Nψ : ⊃ P(ψ)
"Se una proprietà positiva φ ne implica necessariamente un’altra ψ, allora anche ψ è positiva".
che implica
(16) x = x è positivo
(17) x ≠ x è negativo.
Ma se un sistema S di proprietà positive fosse incompatibile, ciò significherebbe che la proprietà somma s (che è positiva) sarebbe x ≠ x.
Gödel usa x ≠ x per significare una proprietà negativa.
Per l'assioma 1 s è positivo e vale x = x per s. Ma s non può essere auto-contraddittorio con se stesso. Se qualcosa non è auto-contraddittorio, allora è possibile. Dunque S è possibile.
***
IX - Dio esiste necessariamente
Da (14) e da (15) per il modus ponens:
(18) N(∃y) G(y)
"Dio esiste necessariamente".
Con P(E(x)) ∈ G(x) l'esistenza necessaria di Dio è dimostrata.